康熙皇帝与符号代数

洪万生

　　欧基里得(Euclid)曾说：“学习几何学没有王者之路！”。事实
上，学习代数学亦然，譬如说吧，在中国数学史上鼎鼎大名的康熙皇
帝，就在符号代数的学习过程中，表现了类似今日国中学生茫然不知
所措的模样，这个历史经验，实在很值得教学工作者参考与借镜。

　　这里所指的符号代数，当然是清初传教士传入中国的西方数学知
识。当时有两种西方代数传入中国，第一种被称作“借根方比例法”，
第二种则叫作“阿尔热巴拉新法”。所谓“阿尔热巴拉”，无疑是英
文algebra的音译，也曾被称作“阿尔热巴达”或“阿尔朱巴尔”（当
是法文algebre的音译）。其实，这几个名称也都曾指涉第一种，譬如
在公元1711年，康熙皇帝与直隶巡抚赵宏燮讨论数学时，就指出：

　　算法之理，皆出于《易经》，即西洋算法亦善，原系中国算法，
　　彼称为“阿尔朱巴尔”者，传自东方之谓也。

　　隔年梅觳成入宫肄业于畅春园的蒙养斋，负责主编《数理精蕴》
等书，康熙皇帝授以传教士传入的代数学，并且谕示：

　　西洋人名此书为阿尔热巴达，译言东来法也。

　　按此书可能是某传教士所译的《借根方算法节要》。至于在该书
中不沿袭原名而改称为“借根方法”，“乃译书者就其法而质言之也。”
换句话说，“借根方（比例）法”是一种“意译”！后来奉康熙皇帝
指示，梅觳成遂将它编入《数理精蕴》（1723）卷三十二——三十六。

　　然则何以algebra是一种“东来法”呢？这就必须追溯这个英文字
的语源了。原来algebra相当于拉丁文的al-jabr，出自阿拉伯数学家
阿尔花拉子模（Al-Khwarizmi， 第九世纪）的一本代数著作的书名
Hisab al-jabr w'al muqabala，原指“还原”（restoration）之意，
例如将 2x+5 = 8-3x “还原”成 5x+5 = 8。这种代数不但未涉及符
号法则（symbolism），当然也不曾引进文字系数；同时，方程式
（equation，原意是令相等之后所得到的式子）两端也像天平平衡一
样而不等于零，譬如二次方程就表示成像x^2+6x=4等等；此外，求解
程序也都以文字叙述。后来再由义大利数学家卡丹（G. Cardano,
1501-1576）全盘接收，因此，对西欧人而言才有“东来法”之说。至
于“符号代数”（symbolic algebra），则是第二种，亦即“阿尔热
巴拉新法”的主旨，源自法国数学家维达（F. Vieta, 1540-1603）著
作《解析方法入门》（Introduction to Analytic Art，1591-95）的
发明。它的特征除了代数方程的系数以文字符号表示、符号可以一如
数目演算之外，方程式任何一端可以置零，譬如 ax^2+bx+c=0；还有，
维达也特别强调代数是研究像二次方程这种“形式”(species or
forms of things)的学问，而算术则完全诉诸数目(species of numbers)。

　　有趣的是，当时中国人为了安心学习西算，遂将“东来”解释成
来自中国，于是，梅觳成就以《测圆海镜》（元李冶撰）与《数理精
蕴》中例子，来比较“天元术”与“借根方法”，证明它们“名异而
实同”。可惜，中土“不知何故遂失其传，犹幸远人慕化，复得故物”，
“东来之名”正好表示西人不忘本，如此说来，中国人怎么可以不好
好地学习西算呢。这是梅觳成为盛行于明末清初“西学中原说”所下
的最佳注脚。

　　如此说来，康熙皇帝不可能对一样是代数学的“阿尔热巴拉新法”
没有兴趣。问题是：何以由康熙皇帝主编的《数理精蕴》只字不提
“新法”？最主要的原因之一是：康熙皇帝无法了解符号演算的意义。
这当然也可能涉及引进者的数学素养及其数学传统。事实上，《阿尔
热巴拉新法》是法国传教士傅圣泽（Jean Francois Foucquet,
1665-1741）为了教导康熙皇帝学习“新代数”而写的。一七一一年之
后，傅圣泽应召入宫伴读西方天算。有一天，康熙想知道傅圣泽对代
数的看法，于是，傅圣泽遂趁机介绍“新代数”，并强调它比“旧”
代数更简单而且更具有一般性。其实，在《阿尔热巴拉新法》卷一第
一节中，傅圣泽即强调了“新法与旧法之所以异”：

　　或问：阿尔热巴拉旧法，乃最深远之法也，何为又有新法，
　　　　　意必旧法犹有未善者与？
　　答曰：旧法未尝不善，但于通融之处，有所不及也，故又有
　　　　　新法济之。

　　既然如此，那么二法何以区别呢？傅圣泽指出：“所以异者，因
旧法所用之记号，乃数目字样，新法所用之记号，乃可以通融之记号。”
所谓“通融记号”，即是指代数符号，“在中华可以用天干地支二十
二字以代之”。为了说明它的便利与巧妙，傅圣泽“试以一式明之。
假如有一题，凡两个数目字之平方，必包涵四件，乃每字之平方，与
两字相乘之两长方，今将十二之两数目字以发明其理。”请参阅我们
从该书所复印下来的插图及说明，即可发现傅圣泽试图利用几何意义
从(10+2)^2=100^2+2(10)(2)+2^2来“类推”(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，
此二项式被翻译成（甲+乙）（甲+乙）= 甲甲+二甲乙+乙乙（请注意
该书“加号”与“等号”与现行不同）。从教学观点来看，傅圣泽的
解释可以说是尽心尽力了，不过，对西算造诣颇深的康熙皇帝还是作
出如下的反应：

　　　　谕王道化：朕自起身以来，每日同阿哥等察《阿而热巴
　　拉新法》，最难明白，他说比旧法易，看来比旧法愈难，错
　　处易甚多，骛突处也不少……还有言者：甲乘甲、乙乘乙，
　　总无数目，即乘出来亦不知多少，看起来想是此人算法平平
　　耳。（参考《掌故丛编》二辑《清圣组谕旨二》）

　　在西方数学史上，符号代数在十六世纪末被发明之后，大约花了
将近一世纪的时间才逐渐被数学家广泛接受。究其原因，这些西方数
学家应该跟康熙皇帝一样，无法了解符号演算的意义。由此一历史教
训，我们或可推论：符号代数的学习需要比较成熟的数学心智，因为
即使天纵英明如康熙也表现得束手无策。所以，我们希望国中教师在
讲解一元一次方程的解法时，千万多一点耐心与包容，因为从数目演
算到符号演算这个“认知跳跃”，对贵贱贤愚显然一视同仁，都是必
须努力才能跨越的门槛！