求助!数学题

[erdbeer]

1.Bestimme Residuum f z. fuer z.=0
sinz/z^6
2. Brechne InterlZl=5 dz/(Z^2+1)

[leier11]

1. z=0 是 f(z)=sin(z)/z^6 Polstelle 5-ter Ordnung .
Residuum=1/(5-1)! lim(z gegen 0)g(z)
其中g(z)是 sinz/z 对z求4次导的函数, 注意运算过程中,z趋于0时,sin(z)/z=1你对照下公式看看,几年前接触的内容了,希望我没记错:)

2. Integral 5dz/(z^2+1)=5arctg(z)

[erdbeer]

第２题没有明白呦．
Integral dz/z^2+1
lZl=5

lZl=5是什么？
教授写的讲义很乱，我没找到．麻烦你帮我讲解一下，谢谢．

还有第一个题，讲义上写的
Sei Z0 isolierte Singularitaet von f=Summe(-unendlich bis +unendlich)Cn(z-z0)^n 0 kleine als lz-z0l kleine als S dann folgt C=Res f
-1 z0
C =1/2pii Integral f(z)dz
-1 lz-z0l=s

[leier11]

第2题看来不是简单的实数范围内的积分,而是复平面上的曲线积分. lZl=5 ,Z是复平面上的点,该点的模为5,也就是以原点为圆心,半径为5的一个圆.
所要求的是dz/z^2+1 沿该曲面的积分.用cauchy定理算.

第1题讲义上写的是Residuum的定义. 定义f为一laurent级数(定义在复平面上的),而z0是是该级数上可微的点.那么C =1/2pii Integral f(z)dz 就是Residuum的定义式子.

[erdbeer]

(sinZ)/Z的4次导的函数是(sinZ)/Z+4(cosZ)/Z^2-12(sinZ)/Z^3-24(cosZ)/Z^4
它的极限怎么求呀

[leier11]

一次导分母最高2次方,四次导最高应该是5次方,你检查下上面的式子是否漏了一项分母是5次方的.

另外,cosZ 可以化成倍角公式: cosZ= 1-2(sin(z/2))^2 当z趋于0,cosZ=1-(z^2)/2

[erdbeer]

呵呵，恩，我是忘记写了一个５次方的．麻烦你，可以帮我详细的解一下吗？
非常感谢！

[leier11]

4次导后,(sinZ)/Z+4(cosZ)/Z^2-12(sinZ)/Z^3-24(cosZ)/Z^4+24(sinZ)/Z^5
Z gegen 0, 化简后: 4/Z^2 - 1
这个Residuum 成正无穷了.
ungewoehnlich...