庞加莱猜想

《科学》2006年度突破之庞加莱猜想专题文章

　　年度重大突破：庞加莱猜想----终于被证明
　　一个世纪数学问题的解决变成一场喜忧参半的奖励

　　作者：丹娜·麦肯锡

　　对于数学家来说，格里格里·佩雷尔曼对于庞加莱猜想的证明称得上是近十
多年来最重大的突破。但也花了他们几年的时间确认这次是真的。2006年，在佩
雷尔曼发出他三篇论文中的第一篇近四年后，这个领域的专家才达成共识：佩雷
尔曼解决了这个最重大的问题。不幸的是，随之而来的一场争议和极戏剧性的风
暴几乎淹没了这项伟大工作本身。

　　佩雷尔曼的证明从根本上改变了两个不同的数学分支。首先，他解决的问题
是困扰了百年的拓扑学这门研究抽象形状的学科的核心问题。而且大多数数学家
相信这个问题将导致更加广泛的一个结果----几何化猜想的证明：特别重要的，
一个类似“周期表”的使三维空间研究更加清晰的结果，就象门捷列夫在化学中
做的那样。

　　不仅给拓扑学带来新结果，佩雷尔曼也为几何学带来了新技术。他确立了几
何演化方程的中心地位，丰富了将难于处理的空间转化为易于处理的空间的方式
技术。之前对于此类方程的研究经常滑向导致方程失去意义的“奇点”。佩雷尔
曼清除了这个障碍。

　　“这是数学家第一次能够理解奇点的结构和如此复杂系统的演化，”哈佛大
学教授丘成桐今年夏天在北京的一次报告中这样说，“发展出来的方法……会给
多种自然系统的研究带来曙光，比如（流体动力学的）那维尔－斯托克斯方程和
（广义相对论的）爱因斯坦方程。”

　　难以驾驭的空间

　　亨利·庞加莱一般被认为拓扑学的创立者，第一个把拓扑学从分析学（由微
积分发展而来的数学分支）和几何学分立出来的数学家。拓扑学常被描述成“橡
皮泥几何学”，因为它研究表面在任意拉伸下的特性，而撕裂和粘合是不允许的。

　　我们的身体还有大多数我们与其打交道的熟悉的物体都是三维的。但是它们
的表面却是二维的。在拓扑学中，无界的二维表面（那些卷曲的闭合的，就象我
们的皮肤）只有一个显著特征：表面上的孔。无孔的二维表面是二维球面；一个
孔的二维表面是环面；以此类推。一个球面不能变成环面，反之亦然。

　　具有二维表面的三维物体仅仅是个开始。比如，我们可以定义一个弯曲的三
维空间为一个四维物体的表面。人们只能模糊地想象这样的物体，但数学家可以
用符号描述和研究它们的特性。庞加莱天才地定义一个称为“基本群”的工具来
检测孔，扭，和其它任意维空间的特性。他猜想一个三维空间在其基本群中无法
隐藏任何特别的拓扑，所以一个带有“平凡”基本群的三维空间一定是一个超曲
面：一个四维空间中球的边界。

　　尽管很容易表述，人们发现庞加莱猜想极难证明。八十年代以前，数学家已
经可以证明了三维以上任意维空间的这个猜想的推广情形－但从未成功证明庞加
莱最初的三维的猜想。

　　为了取得进展，拓扑学家发现了他们以前忽略了的工具：一个确定距离的方
式。也就是说一次拓扑学和几何学的重新联合。1982年，威廉·瑟斯顿（现在康
奈尔大学）发现每一个三维空间都可以分成多个有特定一致的几何对应的部分，
而这些不同几何只有八种。这个猜想被称为几何化猜想。

　　如果正确，瑟斯顿的洞见将导致庞加莱猜想的证明，因为一个球面只是八种
符合平凡基本群的不同几何中的一种。1982年，理查德·汉密尔顿（现在哥伦比
亚大学）提出一种证明思路：从任意一个不太规则空间开始，让它流向一个一致
的空间。这将是一个精简的瑟斯顿“几何化”了的空间。为了引导流，汉密尔顿
以物理学中的热方程为模型提出一个几何演化方程，命名为“里奇流”，以纪念
一个早期微分几何学家格里格里奥·里奇－柯巴斯特罗。在里奇流中，高曲率区
域趋向于扩散成众多低曲率区域，直到空间各处曲率相等。

　　汉密尔顿的策略在二维表面运用很完美。象本期封面上的一列细长“颈状体”
都会很好地拉伸。但在三维中，里奇流会滑向礁石。颈有时会被拉断，把空间分
成具有不同特定几何的部分。虽然汉密尔顿在里奇流上作出了开创性的工作，但
他还是未能处理好奇点问题。这使得整个计划在九十年代中似乎陷入停顿。2000
年，当克雷数学研究所把庞加莱猜想列为百万美元大奖的数学难题之一时，还没
有数学家会相信在这个问题上会有大的突破。

　　突破

　　实际上，佩雷尔曼那时已经接近他的答案了。1995年，29岁的圣彼得堡人结
束了在美国的三年逗留回到俄罗斯，在美国时他与汉密尔顿会了面并且学了里奇
流。接下来的七年里，他几乎与世隔绝。然后，2002年十一月，佩雷尔曼将他的
三篇几何化猜想的证明论文的第一篇放到了互联网上。

　　对专家来说，很容易立即看出佩雷尔曼取得了突破。因为他这篇论文第一段
的标题是：“里奇流作为梯度流”。佩雷尔曼点出了汉密尔顿漏掉的一个重要细
节：一个随流总是递增的量给出了这个流的方向。佩雷尔曼将其与统计力学，热
动力学规则下的数学作了类比，并将这个量称为“熵”。

　　这个熵排除了难住汉密尔顿的几种特定奇点。为保险起见，佩雷尔曼仍然需
要确定剩下的奇点中可能有问题的种类。他必须说明一次只会有一种情况，而不
是多种无限的叠加累积。然后，对每一种奇点，他必须说明如何在它可能使里奇
流破坏之前修剪和使其光滑。这些步驟已经足以证明庞加莱猜想了。要完成几何
化猜想，佩雷尔曼必须另外说明以上“带手术的里奇流”过程可以持续无限长的
时间。

　　2003年，当佩雷尔曼再次访问美国并就他的工作作报告时，很多数学家仍不
相信他真得已经搬走了所有障碍。但到2006年时，数学界终于跟上了他的脚步。
三篇独立的论文，填补上了那些佩雷尔曼的证明里没写下的关键细节，而这三篇
手稿每篇长达至少300页。

　　其中两篇----一篇作者是位于安·阿伯的密执安大学的布鲁斯·克莱纳和约
翰·洛特，另一篇作者是哥伦比亚大学的约翰·摩根和位于堪不里奇的麻省理工
学院的田刚----很少涉及到几何化猜想，因为佩雷尔曼对其最后的步骤解释太过
概括。（但这两组仍在继续他们的工作）不过他们已经填补的足以完成庞加莱猜
想。

　　其中的第三篇，作者是位于宾夕法尼亚的里海大学的曹怀东和位于中国广州
中山大学的朱熹平。他们则显得不够谨慎，宣称完成了“第一个成文的庞加莱猜
想和瑟斯顿几何化猜想的完全证明”。今年夏天，国际数学家联合会将一向被视
为数学界的最高荣誉的菲尔兹奖颁给了佩雷尔曼。

　　不幸的转变

　　也是从这时起，鲜艳的巨大的荣誉开始出现阴影。八月二十二日，国际数学
家联合会主席约翰·波尔宣布佩雷尔曼已经拒绝了菲尔兹奖。在《纽约客》的采
访中，这位让人很难理解的数学家说他已经放弃了数学，并且对同行们的“道德
标准”的某些退化和堕落深感失望。这篇《纽约客》文章中还描画了一个令人厌
恶的丘成桐的形象，暗示他为他的学生曹怀东和他支持的朱熹平的工作宣传了过
多的功劳。

　　于是接下来的几个月，令人不愉快的气氛弥漫。一些数学家说他们的原话被
《纽约客》歪曲，并且丘成桐威胁要诉诸法律。克莱纳和洛特对曹和朱的论文中
照搬他们的证明并声称原创的行为表达了不满，而后者仅在之后的勘误中承认了
对克莱纳和洛特的引用。

　　今年秋天，美国数学会曾试图于2007年一月在路易斯安那的新奥尔良组织一
次关于庞加莱猜想和几何化猜想的全明星式的会议。据执行主席约翰·由因，因
为洛特拒绝与朱熹平同台而使这个努力搁浅。但由因仍希望“在不久的将来某时”
组织这个会议。遗憾的是，目前这样的不愉快使数学家们还难以庆祝这个新千年
伊始便取得的伟大突破。

　　注：原文见《科学》