求助数学方面的问题

[erdbeer]

Berechne folgende Kurvenintegrale jeweils längs einer Kurve r mit Anfangspunkt A=(a,b) und Endpunkt B=(c,d)

W(x,y):=y dx+x dy, A:= (1,3), B= (-1,2)

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这是典型的利用某些函数“曲线积分与路径无关”这个性质的题
这里的这个W(x,y)就有这个性质：

Wir können die Funktion W zuerst umschreiben:

W(x,y)=ydx+xdy=d(xy)

Daraus erkennen wir dass W ein totales Dfferential ist, also

W = dF

wobei F = xy

das Integral von W ist dann gleich der Differenz von F in Anfangspunkt und in Endpunkt:

∫(W) = ∫dF = F(-1,2) - F(1,3) = (-1)x2 - 1x3= -5

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当然你也可以自己选择一条连接这两点的Kurve作为Integralweg，然后按照一般的公式把W给parameterisieren，把曲线积分化作一般的积分。
但是只要看到题目中没有明给积分路径，就肯定能用上述方法做。因为这儿的积分题出来出去都跳不出这个框框的。

[sanswok]

谢谢

[erdbeer]

∫(W) = ∫dF = F(-1,2) - F(1,3) = (-1)x2 - 1x3= -5
为什么是-而不是+

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定积分的公式就是这样的：

oberer Grenze - untere Grenze

[宝贝]

当然你也可以自己选择一条连接这两点的Kurve作为Integralweg，然后按照一般的公式把W给parameterisieren，把曲线积分化作一般的积分。
但是只要看到题目中没有明给积分路径，就肯定能用上述方法做。因为这儿的积分题出来出去都跳不出这个框框的。
你人超好的

[erdbeer]

不好意思，还有一个问题。
Zeige :∫w=0 mit r: t-> z(t)=(cost,sint),0<=t<=2Pi.(Anleitung: Überprüfe die Integrabilitätsbedingungen.)
f(x,y):=y,g(x,y):=x

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不好意思，还有一个问题。
Zeige :∫w=0 mit r: t-> z(t)=(cost,sint),0<=t<=2Pi.(Anleitung: Überprüfe die Integrabilitätsbedingungen.)
f(x,y):=y,g(x,y):=x


这题同样有两种做法
比较简单明了的一种是：

∂f / ∂y = 1
∂g / ∂x =1
==> ∂f / ∂y = ∂g / ∂x , d.h. die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt
==> Linienintegral ∫w entlang geschlossener Kurve ergibt 0 (这是一个定理)



die Kurve: z(t)=(cost,sint)
Anfangspunkt: z(0) = (cos(0), sin(0)) = (1,0)
Endpunkt: z(2Pi) = (cos(2Pi), sin(2Pi)) = (1,0)
==> Anfangspunkt = Endpunkt, Kurve geschlossen
==> ∫w=0